溶解度積

要点整理

$\ce{AgCl}$ のような難溶性塩は、水にわずかに溶けて電離し、固体の沈殿と、溶けて生じたイオンとの間に平衡が成り立ちます。

$\ce{AgCl(s) <=> Ag+ + Cl-}$

固体 $\ce{AgCl(s)}$ の「濃度」は一定とみなせるので、これまでと同様に質量作用の法則の式から固体の項を除くと、

$K_{sp} = \ce{[Ag+][Cl-]}$

という関係が得られます。この $K_{sp}$ を溶解度積と呼びます。$K_{sp}$ は、他の平衡定数と同様に、温度が一定であれば一定の値になります。

$\ce{PbI2}$ のように、陽イオンと陰イオンの数の比が $1:1$ でない塩の場合は、化学反応式の係数がそのまま指数になります。

$\ce{PbI2(s) <=> Pb^2+ + 2I-} \qquad K_{sp} = \ce{[Pb^2+][I-]^2}$

沈殿生成の判定

ある溶液中のイオン濃度から、溶解度積の式と同じ形で計算した値(平衡状態とは限らない、そのときの濃度から計算した値)をイオン積と呼びます。このイオン積を $K_{sp}$ と比較することで、沈殿が生成するかどうかを判定できます(前の項目で学んだ、反応商 $Q$ と平衡定数 $K$ の比較と同じ考え方です)。

イオン積 $>K_{sp}$:溶液は過飽和の状態であり、イオン積が $K_{sp}$ に等しくなるまで、余分なイオンが沈殿として析出する。
イオン積 $
イオン積 $=K_{sp}$:ちょうど飽和した状態(沈殿と溶液が共存する平衡状態、またはぎりぎり沈殿が生じていない状態)。

溶解度との関係

$\ce{AgCl}$(AB型)の水に対する溶解度を $S\ \mathrm{mol/L}$ とすると、$\ce{[Ag+]}=\ce{[Cl-]}=S$ なので、$K_{sp}=S^2$、すなわち $S=\sqrt{K_{sp}}$ です。$\ce{PbI2}$(AB$_2$型)では、$\ce{[Pb^2+]}=S$、$\ce{[I-]}=2S$ なので、$K_{sp}=S\times(2S)^2=4S^3$、すなわち $S=\sqrt[3]{K_{sp}/4}$ となります。

例題

例題1(基本)

問題

ある温度における $\ce{AgCl}$ の水に対する溶解度は $1.0\times10^{-5}\ \mathrm{mol/L}$ である。この温度における $\ce{AgCl}$ の溶解度積 $K_{sp}$ を求めよ。

解答・解説を見る

$\ce{AgCl(s) <=> Ag+ + Cl-}$ より、溶解度 $S$ だけ溶けると、$\ce{[Ag+]}=\ce{[Cl-]}=S=1.0\times10^{-5}\ \mathrm{mol/L}$ です。

$K_{sp} = \ce{[Ag+][Cl-]} = S^2 = (1.0\times10^{-5})^2 = 1.0\times10^{-10}\ \mathrm{(mol/L)^2}$

答え:$K_{sp}=1.0\times10^{-10}\ \mathrm{(mol/L)^2}$

例題2(標準)

問題

ヨウ化鉛(II)$\ce{PbI2}$ の溶解度積は $K_{sp}=3.2\times10^{-8}\ \mathrm{(mol/L)^3}$ である。$\ce{PbI2}$ の水に対する溶解度 $S$、および飽和水溶液中の $\ce{[Pb^2+]}$、$\ce{[I-]}$ を求めよ。

解答・解説を見る

$\ce{PbI2(s) <=> Pb^2+ + 2I-}$ より、溶解度 $S$ だけ溶けると $\ce{[Pb^2+]}=S$、$\ce{[I-]}=2S$ です。

$K_{sp} = \ce{[Pb^2+][I-]^2} = S\times(2S)^2 = 4S^3$

$S^3 = \frac{K_{sp}}{4} = \frac{3.2\times10^{-8}}{4} = 8.0\times10^{-9}$

$8.0\times10^{-9}=(2.0\times10^{-3})^3$ であることに注意すると、

$S = \sqrt[3]{8.0\times10^{-9}} = 2.0\times10^{-3}\ \mathrm{mol/L}$

したがって、

$\ce{[Pb^2+]} = S = 2.0\times10^{-3}\ \mathrm{mol/L}, \qquad \ce{[I-]} = 2S = 4.0\times10^{-3}\ \mathrm{mol/L}$

答え:$S=2.0\times10^{-3}\ \mathrm{mol/L}$、$\ce{[Pb^2+]}=2.0\times10^{-3}\ \mathrm{mol/L}$、$\ce{[I-]}=4.0\times10^{-3}\ \mathrm{mol/L}$

例題3(応用)

問題

$1.0\times10^{-4}\ \mathrm{mol/L}$ の硝酸銀 $\ce{AgNO3}$ 水溶液 $100\ \mathrm{mL}$ と、$1.0\times10^{-4}\ \mathrm{mol/L}$ の塩化ナトリウム $\ce{NaCl}$ 水溶液 $100\ \mathrm{mL}$ を混合した。$\ce{AgCl}$ の溶解度積を $K_{sp}=1.0\times10^{-10}\ \mathrm{(mol/L)^2}$ とする。

(1) 混合直後(反応が進む前)のイオン積を計算し、沈殿が生じるかどうかを判定せよ。

(2) 最終的に沈殿が生じたあと、溶液中に残っている $\ce{[Ag+]}$、$\ce{[Cl-]}$ を求めよ。

解答・解説を見る

(1) 混合直後のイオン積

混合によって体積が $100+100=200\ \mathrm{mL}$ になるので、それぞれのイオン濃度は半分に薄まります。

$\ce{[Ag+]} = \ce{[Cl-]} = 1.0\times10^{-4}\times\frac{100}{200} = 5.0\times10^{-5}\ \mathrm{mol/L}$

イオン積は、

$\ce{[Ag+][Cl-]} = (5.0\times10^{-5})^2 = 2.5\times10^{-9}$

これは $K_{sp}=1.0\times10^{-10}$ より大きい($2.5\times10^{-9}>1.0\times10^{-10}$)ので、沈殿が生じると判定できます。

答え(1):イオン積 $2.5\times10^{-9}>K_{sp}=1.0\times10^{-10}$ なので、$\ce{AgCl}$ の沈殿が生じる。

(2) 沈殿生成後に残るイオン濃度

混合直後の $\ce{[Ag+]}=\ce{[Cl-]}=5.0\times10^{-5}\ \mathrm{mol/L}$ から、$\ce{Ag+}$ と $\ce{Cl-}$ が同じ物質量ずつ沈殿として取り除かれます(化学反応式 $\ce{Ag+ + Cl- -> AgCl}$ の係数がどちらも1のため)。沈殿する濃度を $x\ \mathrm{mol/L}$ とおくと、残る濃度はどちらも $5.0\times10^{-5}-x$ となり、これが新たな平衡($K_{sp}$)を満たします。

$(5.0\times10^{-5}-x)^2 = K_{sp} = 1.0\times10^{-10}$

両辺の正の平方根をとると、

$5.0\times10^{-5}-x = \sqrt{1.0\times10^{-10}} = 1.0\times10^{-5}$

$x = 5.0\times10^{-5}-1.0\times10^{-5} = 4.0\times10^{-5}\ \mathrm{mol/L}$

したがって、残っているイオン濃度は、

$\ce{[Ag+]} = \ce{[Cl-]} = 5.0\times10^{-5}-4.0\times10^{-5} = 1.0\times10^{-5}\ \mathrm{mol/L}$

答え(2):$\ce{[Ag+]}=\ce{[Cl-]}=1.0\times10^{-5}\ \mathrm{mol/L}$

このように、$1:1$ 型の難溶性塩を、ちょうど当量(過不足なく反応する量)ずつ混合すると、残る各イオンの濃度は必ず $\sqrt{K_{sp}}$ に落ち着くという結果になります。これは、混合直後の濃度がいくらであっても($K_{sp}$より十分大きければ)成り立つ、覚えておくと便利な性質です。

練習問題

問題

$2.0\times10^{-3}\ \mathrm{mol/L}$ の硝酸鉛(II)$\ce{Pb(NO3)2}$ 水溶液 $50\ \mathrm{mL}$ と、$2.0\times10^{-3}\ \mathrm{mol/L}$ のヨウ化カリウム $\ce{KI}$ 水溶液 $50\ \mathrm{mL}$ を混合した。$\ce{PbI2}$ の溶解度積を $K_{sp}=1.0\times10^{-8}\ \mathrm{(mol/L)^3}$ とするとき、沈殿は生じるか判定せよ。

答え

混合後 $\ce{[Pb^2+]}=\ce{[I-]}=1.0\times10^{-3}\ \mathrm{mol/L}$。イオン積 $=\ce{[Pb^2+][I-]^2}=1.0\times10^{-3}\times(1.0\times10^{-3})^2=1.0\times10^{-9}$。これは $K_{sp}=1.0\times10^{-8}$ より小さいので、沈殿は生じない。