ボイル・シャルルの法則

要点整理

気体の体積は、圧力や温度を変えると大きく変化します。この関係を定量的にまとめたのが、ボイルの法則とシャルルの法則です。

ボイルの法則

温度が一定のとき、一定量の気体の体積 $V$ は、圧力 $P$ に反比例します。

$PV = (\text{一定})$

これをボイルの法則といいます。圧力を2倍にすると体積は $\dfrac{1}{2}$ 倍に、圧力を $\dfrac{1}{3}$ 倍にすると体積は3倍になる、というように、$P$ と $V$ の積がつねに一定に保たれます。同じ量・同じ温度の気体について、状態1(圧力 $P_1$、体積 $V_1$)から状態2(圧力 $P_2$、体積 $V_2$)に変化したとすると、

$P_1V_1 = P_2V_2$

という関係が成り立ちます。

シャルルの法則

圧力が一定のとき、一定量の気体の体積 $V$ は、絶対温度 $T$ に比例します。

$\frac{V}{T} = (\text{一定})$

これをシャルルの法則といいます。絶対温度を2倍にすると体積も2倍になる、という比例関係です。ここで重要な注意点は、必ず絶対温度(単位はK)を使うことです。セルシウス温度 $t\ [℃]$ と絶対温度 $T\ [\mathrm{K}]$ の関係は、

$T = t+273$

で表されます。セルシウス温度のまま比例計算をしてしまうと(例えば $0℃$ を2倍しても $0℃$ のままで意味をなさない)、誤った答えになってしまうので注意しましょう。同じ量・同じ圧力の気体について、状態1(絶対温度 $T_1$、体積 $V_1$)から状態2(絶対温度 $T_2$、体積 $V_2$)に変化したとすると、

$\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$

という関係が成り立ちます。

ボイル・シャルルの法則

ボイルの法則とシャルルの法則を1つにまとめると、一定量の気体について、圧力・体積・絶対温度の間に次の関係が成り立ちます。

$\frac{PV}{T} = (\text{一定})$

これをボイル・シャルルの法則といいます。状態1($P_1$、$V_1$、$T_1$)から状態2($P_2$、$V_2$、$T_2$)に変化したとき、

$\frac{P_1V_1}{T_1} = \frac{P_2V_2}{T_2}$

が成り立ちます。圧力・体積・温度のうち2つが変化する問題は、すべてこの式1本で扱うことができます(圧力が一定なら $P_1=P_2$ としてシャルルの法則に、温度が一定なら $T_1=T_2$ としてボイルの法則に、それぞれ自動的に帰着します)。

例題

例題1(基本)

問題

温度を一定に保ったまま、圧力 $1.0\times10^5\ \mathrm{Pa}$、体積 $6.0\ \mathrm{L}$ の気体を、圧力 $3.0\times10^5\ \mathrm{Pa}$ まで圧縮した。このときの気体の体積を求めよ。

解答・解説を見る

温度が一定なのでボイルの法則 $P_1V_1=P_2V_2$ を使います。$P_1=1.0\times10^5$、$V_1=6.0$、$P_2=3.0\times10^5$ を代入し、$V_2$ について解きます。

$1.0\times10^5\times6.0 = 3.0\times10^5\times V_2$

$V_2 = \frac{1.0\times10^5\times6.0}{3.0\times10^5} = \frac{6.0}{3.0} = 2.0\ \mathrm{L}$

答え:$2.0\ \mathrm{L}$

例題2(標準)

問題

圧力を一定に保ったまま、$27℃$ で体積 $4.0\ \mathrm{L}$ であった気体を、$127℃$ まで加熱した。このときの気体の体積を求めよ。

解答・解説を見る

セルシウス温度を絶対温度に変換します。

$T_1 = 27+273 = 300\ \mathrm{K}, \quad T_2 = 127+273 = 400\ \mathrm{K}$

圧力が一定なのでシャルルの法則 $\dfrac{V_1}{T_1}=\dfrac{V_2}{T_2}$ を使います。$V_1=4.0$、$T_1=300$、$T_2=400$ を代入します。

$\frac{4.0}{300} = \frac{V_2}{400}$

$V_2 = \frac{4.0\times400}{300} = \frac{1600}{300} = 5.33\ \mathrm{L}$

答え:約 $5.3\ \mathrm{L}$

例題3(応用)

問題

$0℃$、$1.0\times10^5\ \mathrm{Pa}$ で体積 $2.0\ \mathrm{L}$ の気体を、$87℃$、$2.0\times10^5\ \mathrm{Pa}$ の状態にした。このときの気体の体積を求めよ。

解答・解説を見る

圧力・温度がともに変化しているので、ボイル・シャルルの法則 $\dfrac{P_1V_1}{T_1}=\dfrac{P_2V_2}{T_2}$ を使います。まず絶対温度に変換します。

$T_1 = 0+273 = 273\ \mathrm{K}, \quad T_2 = 87+273 = 360\ \mathrm{K}$

$P_1=1.0\times10^5$、$V_1=2.0$、$T_1=273$、$P_2=2.0\times10^5$、$T_2=360$ を代入します。

$\frac{1.0\times10^5\times2.0}{273} = \frac{2.0\times10^5\times V_2}{360}$

$V_2$ について解くため、両辺に $360$ をかけて $2.0\times10^5$ で割ります。

$V_2 = \frac{1.0\times10^5\times2.0\times360}{273\times2.0\times10^5}$

分子・分母の $2.0\times10^5$ を約分すると、

$V_2 = \frac{360}{273} = 1.318\cdots\ \mathrm{L}$

答え:約 $1.3\ \mathrm{L}$

練習問題

問題

$1.0\times10^5\ \mathrm{Pa}$、$27℃$ で体積 $3.0\ \mathrm{L}$ の気体を、$1.5\times10^5\ \mathrm{Pa}$、$127℃$ にしたときの体積を求めよ。

答え

$T_1=300\ \mathrm{K}$、$T_2=400\ \mathrm{K}$ より、$\dfrac{1.0\times10^5\times3.0}{300}=\dfrac{1.5\times10^5\times V_2}{400}$ を解いて、$V_2=\dfrac{1.0\times10^5\times3.0\times400}{300\times1.5\times10^5}=2.67\approx2.7\ \mathrm{L}$