理想気体の状態方程式

要点整理

ボイル・シャルルの法則から状態方程式へ

前のトピックで学んだボイル・シャルルの法則 $\dfrac{PV}{T}=(\text{一定})$ は、気体の「量」が一定であることを前提にしていました。この「一定」の値は、実は気体の物質量 $n\ [\mathrm{mol}]$ に比例することがわかっています。そこで、この比例定数を $R$ とおくと、

$\frac{PV}{T} = nR$

すなわち、

$PV = nRT$

という関係が成り立ちます。これを理想気体の状態方程式と呼びます。$R$ は気体の種類によらない共通の定数で、気体定数と呼ばれます。圧力を $\mathrm{Pa}$、体積を $\mathrm{L}$、温度を絶対温度 $\mathrm{K}$ で表すとき、

$R = 8.3\times10^{3}\ \mathrm{Pa\cdot L/(K\cdot mol)}$

という値になります。この値は、標準状態($0℃=273\ \mathrm{K}$、$1.013\times10^5\ \mathrm{Pa}$)で気体1molの体積が $22.4\ \mathrm{L}$ になることから、

$R = \frac{PV}{nT} = \frac{1.013\times10^5\times22.4}{1\times273} \approx 8.3\times10^3\ \mathrm{Pa\cdot L/(K\cdot mol)}$

のように逆算して求めることもできます。

状態方程式を使うときの注意点

状態方程式 $PV=nRT$ を使うときは、単位をそろえることが何よりも重要です。$R=8.3\times10^3\ \mathrm{Pa\cdot L/(K\cdot mol)}$ を使う場合は、圧力は必ず $\mathrm{Pa}$、体積は必ず $\mathrm{L}$、温度は必ず絶対温度 $\mathrm{K}$ に統一して代入しなければなりません(圧力が $\mathrm{atm}$ や $\mathrm{hPa}$ で、体積が $\mathrm{mL}$ で与えられている場合は、先に単位変換が必要です)。

モル質量・密度への応用

物質量 $n$ は、気体の質量 $w\ [\mathrm{g}]$ とモル質量 $M\ [\mathrm{g/mol}]$ を使って $n=\dfrac{w}{M}$ と表せます。これを状態方程式に代入すると、

$PV = \frac{w}{M}RT$

という式が得られます。この式を使うと、気体の質量・体積・圧力・温度を測定するだけで、気体のモル質量 $M$(ひいては分子量)を求めることができます。これは、未知の気体の分子量を実験的に決定する代表的な方法です。

例題

例題1(基本)

問題

$2.0\ \mathrm{mol}$ の気体を、$27℃$、$8.3\times10^4\ \mathrm{Pa}$ に保った。この気体の体積を求めよ。気体定数は $R=8.3\times10^{3}\ \mathrm{Pa\cdot L/(K\cdot mol)}$ とする。

解答・解説を見る

$PV=nRT$ を $V$ について解くと $V=\dfrac{nRT}{P}$ です。絶対温度は $T=27+273=300\ \mathrm{K}$ なので、$n=2.0$、$R=8.3\times10^3$、$T=300$、$P=8.3\times10^4$ を代入します。

$V = \frac{2.0\times8.3\times10^3\times300}{8.3\times10^4}$

分子・分母の $8.3\times10^3$ と $8.3\times10^4$ に注目すると、$8.3\times10^4=10\times8.3\times10^3$ なので、

$V = \frac{2.0\times300}{10} = \frac{600}{10} = 60\ \mathrm{L}$

答え:$60\ \mathrm{L}$

例題2(標準)

問題

ある気体 $3.2\ \mathrm{g}$ を容器に入れ、$27℃$、$1.0\times10^5\ \mathrm{Pa}$ で体積を測定したところ $2.49\ \mathrm{L}$ であった。この気体のモル質量を求め、分子式を推定せよ。ただし、この気体はメタン $\ce{CH4}$(分子量16)、酸素 $\ce{O2}$(分子量32)、二酸化炭素 $\ce{CO2}$(分子量44)のいずれかであるとする。気体定数は $R=8.3\times10^3\ \mathrm{Pa\cdot L/(K\cdot mol)}$ とする。

解答・解説を見る

$PV=\dfrac{w}{M}RT$ を $M$ について解くと、

$M = \frac{wRT}{PV}$

絶対温度は $T=27+273=300\ \mathrm{K}$ です。$w=3.2$、$R=8.3\times10^3$、$T=300$、$P=1.0\times10^5$、$V=2.49$ を代入します。

$M = \frac{3.2\times8.3\times10^3\times300}{1.0\times10^5\times2.49}$

分子を計算すると $3.2\times8.3\times10^3\times300=3.2\times8.3\times300\times10^3=7968\times10^3$。分母は $1.0\times10^5\times2.49=2.49\times10^5$。

$M = \frac{7968\times10^3}{2.49\times10^5} = \frac{7968}{249} \approx 32$

モル質量が約 $32\ \mathrm{g/mol}$ なので、この気体は分子量32の $\ce{O2}$(酸素)であると推定できます。

答え:モル質量 約 $32\ \mathrm{g/mol}$、気体は $\ce{O2}$(酸素)

例題3(応用)

問題

体積 $8.3\ \mathrm{L}$ の容器に、窒素 $\ce{N2}$(分子量28)を $5.6\ \mathrm{g}$ 入れて $27℃$ に保った。このときの容器内の圧力を求めよ。また、この容器を $127℃$ まで加熱すると、圧力はいくらになるか(体積は変化しないものとする)。気体定数は $R=8.3\times10^3\ \mathrm{Pa\cdot L/(K\cdot mol)}$ とする。

解答・解説を見る

$27℃$ での圧力

まず物質量を求めます。

$n = \frac{w}{M} = \frac{5.6}{28} = 0.20\ \mathrm{mol}$

$PV=nRT$ を $P$ について解くと $P=\dfrac{nRT}{V}$ です。$T=27+273=300\ \mathrm{K}$、$n=0.20$、$R=8.3\times10^3$、$V=8.3$ を代入します。

$P = \frac{0.20\times8.3\times10^3\times300}{8.3} = \frac{0.20\times10^3\times300\times8.3}{8.3}$

分子・分母の $8.3$ を約分すると、

$P = 0.20\times10^3\times300 = 0.20\times300\times10^3 = 60\times10^3 = 6.0\times10^4\ \mathrm{Pa}$

$127℃$ に加熱したときの圧力

体積・物質量が一定のまま温度だけ変化するので、$\dfrac{P}{T}=(\text{一定})$(定積変化)の関係を使うのが簡単です。$T_1=300\ \mathrm{K}$、$T_2=127+273=400\ \mathrm{K}$ として、

$\frac{P_1}{T_1} = \frac{P_2}{T_2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{6.0\times10^4}{300} = \frac{P_2}{400}$

$P_2 = \frac{6.0\times10^4\times400}{300} = 6.0\times10^4\times\frac{4}{3} = 8.0\times10^4\ \mathrm{Pa}$

答え:$27℃$ での圧力 $6.0\times10^4\ \mathrm{Pa}$、$127℃$ での圧力 $8.0\times10^4\ \mathrm{Pa}$

練習問題

問題

$1.5\ \mathrm{mol}$ の気体が、$0℃$、$1.0\times10^5\ \mathrm{Pa}$ のもとで示す体積を求めよ。気体定数は $R=8.3\times10^3\ \mathrm{Pa\cdot L/(K\cdot mol)}$ とする。

答え

$T=273\ \mathrm{K}$ より、$V=\dfrac{nRT}{P}=\dfrac{1.5\times8.3\times10^3\times273}{1.0\times10^5}\approx34\ \mathrm{L}$