公式の証明・導出
標準状態の気体のモル体積(22.4 L/mol)の考え方
関連単元: 化学基礎 物質量と化学反応式
証明する内容
標準状態(標準状態、STP: 温度0℃=273K、圧力1atm=$1.013\times10^5$ Pa)にある気体は、その種類によらず、1molあたりの体積(モル体積)がほぼ
$\frac{V}{n} = 22.4\ \text{L/mol}$
になることが知られています。これは、理想気体の状態方程式 $pV=nRT$ から、標準状態の数値を代入するだけで導ける結果です。ここでは、単位の変換も含めて、この $22.4$ という数値がどこから出てくるのかを、計算過程を省略せずに追いかけます。
証明
ステップ1:理想気体の状態方程式を確認する
理想気体の状態方程式は、圧力 $p$、体積 $V$、物質量(モル数)$n$、絶対温度 $T$、気体定数 $R$ の間に成り立つ次の関係式です。
$pV = nRT$
この式を、1molあたりの体積 $V/n$ について解くために、両辺を $n$ と $p$ で割ります。
$\frac{V}{n} = \frac{RT}{p}$
この式に、標準状態の $T$ と $p$ の値を代入すれば、モル体積が求まります。
ステップ2:標準状態の数値を単位をそろえて確認する
気体定数を $R=8.31\ \text{J/(mol\cdot K)}$ として計算を進めます。この $R$ の単位はSI単位系(メートル・キログラム・秒)にもとづいているため、代入する $T$ と $p$ もSI単位でそろえる必要があります。
- 温度:標準状態の温度は $0\,^\circ\text{C}$ です。絶対温度に変換すると、
$T = 0 + 273 = 273\ \text{K}$
- 圧力:標準状態の圧力は $1\,\text{atm}$ です。これをパスカル(Pa、SI単位)に変換すると、
$p = 1.013\times10^{5}\ \text{Pa}$
(これは定義値で、$1\,\text{atm}=101325\,\text{Pa}$ を有効数字4桁で丸めたものです。)
ここで、圧力の単位 $\text{Pa}$ は $\text{N/m}^2$ と同じであり、$R$ の単位 $\text{J/(mol\cdot K)}$ の $\text{J}$(ジュール)は $\text{N\cdot m}$ と同じなので、これらの単位はきちんと組み合わさって、体積の単位が $\text{m}^3$ で出てくることが確認できます。
$\frac{[\text{J/(mol\cdot K)}]\times[\text{K}]}{[\text{Pa}]} = \frac{[\text{N\cdot m/mol}]}{[\text{N/m}^2]} = [\text{m}^3/\text{mol}]$
ステップ3:数値を代入して計算する
ステップ1の式 $\dfrac{V}{n}=\dfrac{RT}{p}$ に、$R=8.31$、$T=273$、$p=1.013\times10^5$ を代入します。
$\frac{V}{n} = \frac{8.31\times273}{1.013\times10^{5}}$
まず分子を計算します。
$8.31\times273 = 2268.63$
(内訳:$8.31\times273 = 8.31\times(270+3) = 8.31\times270 + 8.31\times3 = 2243.7+24.93=2268.63$)
次に、この値を分母 $1.013\times10^5=101300$ で割ります。
$\frac{V}{n} = \frac{2268.63}{101300} \approx 0.022395\ \text{m}^3/\text{mol}$
ステップ4:単位をリットルに変換する
化学でよく使う体積の単位はリットル(L)です。$1\ \text{m}^3 = 1000\ \text{L}$ という関係を使って変換します。
$0.022395\ \text{m}^3/\text{mol} \times 1000\ \frac{\text{L}}{\text{m}^3} = 22.395\ \text{L/mol}$
有効数字3桁に丸めると、
$\frac{V}{n} \approx 22.4\ \text{L/mol}$
これが、標準状態における気体のモル体積です。
ステップ5:結果の意味を確認する
この結果が重要なのは、理想気体の状態方程式が「気体の種類によらず成り立つ」という性質を持っているからです。$pV=nRT$ の式には、気体分子の種類(たとえば $\ce{O2}$ か $\ce{CO2}$ か)を表す量が一切入っていません。したがって、標準状態というひとつの条件($T=273$ K、$p=1.013\times10^5$ Pa)を決めてしまえば、モル体積 $22.4$ L/mol はどんな理想気体にも共通の値になります。これが、「標準状態で気体1molは22.4Lを占める」という、高校化学で暗記させられる数値の正体です。
この証明のポイント
この証明のポイントは、公式 $pV=nRT$ そのものよりも、「単位をSI単位(m、kg、s、mol、K)にそろえてから数値を代入し、最後に使いたい単位(ここではL)に変換し直す」という手順にあります。気体定数 $R$ の値がどの単位系で与えられているかを意識せずに数値を代入すると、桁を間違えたり単位が合わなかったりするミスが起こりやすいので、この「単位をそろえてから計算し、最後に変換する」という手順は、気体に関する計算全般(分圧、浸透圧なども含む)で共通して使える考え方です。