公式の証明・導出
ファントホッフの浸透圧の式(ΠV=nRT)の位置づけ
関連単元: 化学 溶液
証明する内容
半透膜(溶媒分子は通すが溶質分子は通さない膜)で溶液と純溶媒を仕切ると、溶媒が溶液側へ浸み込もうとする現象(浸透)が起こり、これをちょうど止めるのに必要な圧力を浸透圧 $\Pi$ と呼びます。ファントホッフは、希薄溶液の浸透圧が、次の式にしたがうことを見出しました。
$\Pi V = nRT$
ここで $V$ は溶液の体積、$n$ は溶質の物質量、$T$ は絶対温度、$R$ は気体定数です。この式の形は、理想気体の状態方程式 $pV=nRT$ と全く同じです。ここでは、なぜこの2つの現象(気体の圧力と、溶液の浸透圧)が同じ形の式で表せるのか、その対応関係を確認し、最後に数値例で浸透圧を計算します。
証明
ステップ1:気体の圧力の意味を確認する
理想気体の状態方程式 $pV=nRT$ を、圧力について解くと、
$p = \frac{n}{V}RT$
となります。ここで $\dfrac{n}{V}$ は、単位体積あたりの気体分子の物質量、つまり気体分子の「(モル)濃度」です。この式は、「気体の圧力は、分子がどれだけ密に(濃く)詰まっているかに、温度をかけたものに比例する」ということを表しています。気体分子が容器の壁に衝突する頻度と勢いが、分子の濃度と温度で決まるため、圧力もそれらで決まる、というのが、この式の物理的なイメージです。
ステップ2:浸透圧の式を同じ形に書き直す
ファントホッフの式 $\Pi V=nRT$ を、同じように浸透圧について解くと、
$\Pi = \frac{n}{V}RT = cRT$
となります。ここで $c=\dfrac{n}{V}$ は、溶液中の溶質のモル濃度です。この式の形は、ステップ1の気体の圧力の式 $p=\dfrac{n}{V}RT$ と、数式としては全く同じ形をしています。
ステップ3:2つの式が同じ形になる理由
気体の圧力も、溶液の浸透圧も、根本的には「単位体積あたりに存在する粒子の数(濃度)」と「温度」だけで決まる圧力的な量である、という共通点があります。
- 気体の圧力:気体分子が容器の壁に衝突することで生じる圧力で、分子の濃度 $n/V$ と温度 $T$ で決まる。
- 浸透圧:半透膜を通して溶媒分子が移動しようとする効果を、外から圧力を加えて止めるときに必要な圧力で、溶質粒子の濃度 $n/V$ と温度 $T$ で決まる。
つまり、浸透圧は、「溶質の粒子が、あたかも溶液の体積 $V$ いっぱいに広がった理想気体であるかのようにふるまい、その粒子の濃度に応じた圧力を生み出している」と考えることができます。これが、ファントホッフの式が理想気体の状態方程式と同じ形になる理由です(ただし、これは希薄溶液で近似的に成り立つ経験則であり、気体分子の運動から直接導かれる $pV=nRT$ とは、成り立ちの背景が異なる点には注意が必要です)。
ステップ4:数値例で浸透圧を計算する
グルコース(ブドウ糖)$\ce{C6H12O6}$(モル質量 $M=180$ g/mol)$1.80$ g を水に溶かして、$200$ mL の水溶液をつくりました。この水溶液の温度が $27\,^\circ\text{C}$(絶対温度 $300$ K)のとき、浸透圧を求めます。
まず、溶かしたグルコースの物質量を求めます。
$n = \frac{1.80\ \text{g}}{180\ \text{g/mol}} = 0.0100\ \text{mol}$
体積は $200$ mL $=0.200$ L なので、モル濃度は、
$c = \frac{n}{V} = \frac{0.0100\ \text{mol}}{0.200\ \text{L}} = 0.0500\ \text{mol/L}$
気体定数を $R=8.31\times10^3\ \text{Pa\cdot L/(mol\cdot K)}$(体積の単位をLで扱う場合の値)として、ステップ2の式 $\Pi=cRT$ に代入します。
$\Pi = 0.0500\times8.31\times10^3\times300$
まず $0.0500\times8.31=0.4155$、これに $10^3$ をかけて $415.5$、さらに $300$ をかけると、
$\Pi = 415.5\times300 = 124650\ \text{Pa} \approx 1.25\times10^5\ \text{Pa}$
これを大気圧の単位(atm、$1\,\text{atm}=1.013\times10^5$ Pa)に換算すると、
$\Pi \approx \frac{124650}{101300} \approx 1.23\ \text{atm}$
この証明のポイント
この証明のポイントは、公式の形が似ていることの意味を、「両方とも粒子の濃度が生み出す圧力的な量である」という共通のイメージで理解することです。単に「$pV=nRT$ と $\Pi V=nRT$ は形が同じだから浸透圧の公式も覚えやすい」ということにとどまらず、$n/V$(粒子の濃度)と $T$(温度)だけで圧力的な量が決まる、という発想そのものが、気体の圧力・浸透圧の両方に共通する物理的な本質です。この見方は、後で学ぶ沸点上昇・凝固点降下(これも溶質粒子の濃度で決まる束一的性質です)を理解するときにも役立ちます。